——關於人工智慧與數學哲學的一些問題 原創呂梨傑 懷疑之路    鄧老師，您好！ 請允許我稱您為鄧老師，因為我曾閱讀與學習過您的大部分文章和書籍，並從中受啟發，從下邊兩個事例中可以看出來： 一是我關於微積分哲學的思考借助了“人類起源新論”學說。我曾經想論證微積分具有“自我認識”的哲學特徵，這需要一套哲學理論提供論據與說辭，恰好在此之前我讀過《人類起源新論：從哲學角度看（上下）》兩篇文章，並且在北京師範大學親耳聽過相關的系列講座，仔細一想發現人類起源新論中“符號性的運動圖式內化為人的心理思維模式，語言由這種模式外化而來”的論述與微積分頗為契合。後來當我用“人類起源新論”考察微積分的思維時發現它具有“超越”與“反思”的特點，體現在Newton-Leibniz公式上，對此我意識到牛頓-萊布尼茨公式的哲學（背後的形而上學）是“我思故我在”。與此同時，還有一些其他的發現，如微積分中的“極限”語言是其“自我意識”，微積分中的命題“任意連續函數在閉區間上有界”具有“自由意志”的特徵。 二是我在《康德<實踐理性批判>句讀》發佈會中的提問。在報告後我提問：鄧老師，《實踐理性批判》中的理性來自純粹理性，甚至是一種先驗的認識能力，也就是先驗邏輯，您有一篇文章叫《康德先驗邏輯對形式邏輯的奠基》，那是不是可以說《實踐理性批判》裏有形式邏輯的基本思想？記得鄧老師對此表示認同，並進行了一番解答，最後還舉了古希臘神話故事來說明自由意志的問題。 在發佈會中提出這個問題跟我對數學哲學的思考有關，我曾認為用康德的《純粹理性批判》和《判斷力批判》來研究數學的哲學就夠了，因為數學是關於真與美的學問，與善的問題似乎沒什麼關係，但後來我發現Hilbert空間理論以及希爾伯特的形式主義似乎超出了真與美的範圍，而跟數學的道德規範有某種關聯，同時我想到《康德先驗邏輯對形式邏輯的奠基》一文，由此產生了用《實踐理性批判》來研究數學中的形式化、公理化的想法，向鄧老師提問便是要驗證一下這個想法是否合理。 鄧老師對數學和人工智慧有一些看法，對數學的態度我認為體現在《作為“大科學”的人文科學》一文中，但其中“把數學當成小科學”的觀點我是不同意的，雖然我對數學知之甚少。鄧老師說“人工智慧是技術的表現”，我也不認同，因為我認為人工智慧是未來科學，人工智慧的理論基礎與數學哲學有關。為了進一步地論述，先闡述我對微積分的哲學和人工智慧理念的若干認識。 一、對微積分哲學和人工智慧理念的思考 除了用鄧老師的“人類起源新論”來剖析微積分，我還用《純粹理性批判》來對微積分理論進行辨析，康德考察的數學命題是“7+5=12”，“兩點之間直線最短”等初等數學內容，並未對高等數學（如微積分）進行分析，而我們現在談論數學時微積分才具有代表性。《純粹理性批判》的序言中關於數學思維方式革命的論述超出了初等數學，適用於高等數學。我認為微積分理論的先天綜合判斷當屬基本公式（牛頓-萊布尼茨公式），那這個判斷是如何可能的呢，從哲學上看是因為有函數把兩個數聯結在一起，因而“函數”即“我思”，而定積分則是我思對應的客觀存在，因此命題“若函數連續，則其定積分存在”的哲學是“我思，故我在”，由此有推論：牛頓-萊布尼茨公式的哲學是“我思故我在”。在先驗演繹後康德考察了判斷的圖型，一個自然的問題是：微積分理論的圖型是什麼？我認為是笛卡爾坐標系，那麼它背後是否有某種哲學？我提出猜想：笛卡爾坐標系的哲學是笛卡爾的“身心交感論”，有一個依據是康德說“與空間中的對象的關係給出了與物體的交感”（B403），笛卡爾坐標系恰好就起了這麼一個作用。我對微積分的哲學還有進一步的認識，比如微積分的物自體是實數，那我自體呢？由於“若函數連續，則其定積分存在”的哲學是“我思，故我在”，所以微積分的“我自體”應是連續函數，連續函數在微積分理論中具有能動性的特點。 康德曾說：“這裏一切困難僅僅在於，一個主體如何能夠內在地直觀自己；只不過這種困難是任何一種理論所共同的。對主體自我的意識（統覺）是自我的簡單表像，···”微積分是數學中的一個理論，它也有對主體自我內在直觀的問題，其結果是極限論，微積分在近代的發展歷經兩百多年才形成極限理論作為它的基礎。康德並未考察微積分，也沒有考察一個數學理論，但他的哲學超越了微積分的思想，可能指示了某些現代數學的哲學，這是我對此的一個看法。 關於人工智慧的理念，在我看來西方哲學史上與數學有關的是兩個哲學思想：畢達哥拉斯的“數是萬物的本原”和萊布尼茨的“普遍代數學”---用數字字元表示人類的所有思想。畢達哥拉斯學派認為數字4表示正義，10表示圓滿，那麼4+10=14又表示什麼呢？正義與圓滿相加是什麼意思呢？黑格爾對畢達哥拉斯學派的評價是：“這種形而上學大都認為只須用一些名詞概念[謂詞]，便可得到關於絕對的知識，它既沒有考察知性概念的真正內容和價值，也沒有考察純用名言[謂詞]，去說明絕對的形式是否妥當。”在現在我們看來，畢達哥拉斯學派的觀點有可取之處，比如衡量人們的幸福有“幸福指數”，又如對於公平正義等有貧富差距這一體現指標，對應社會學上所謂的“基尼係數”，問題的關鍵是這些指數，係數是經過數學論證與複雜計算得出的結果，其中涉及大量的數學理論與推導，而在古希臘並不具備這麼多的數學知識和理論，所以畢達哥拉斯學派說的數是空乏的，缺少內容的，怎麼能用來描述具有豐富內涵的對象呢。但在畢達哥拉斯之後的一千多年，有數學家萊布尼茨又重提這一思想，其間的緣由值得深思。我認為數學發展到了萊布尼茨這個時代，數學知識和對象豐富起來了，人們對數學概念的內容和價值也有了切近的考察，用數學來表示人類的思想是否更為可行了呢。萊布尼茨之所以提出“普遍代數”的觀點，我認為跟微積分的哲學（思維規定）有關，根據我前面的看法，由於牛頓-萊布尼茨公式的哲學是“我思故我在”，所以積分號表示“反思”；又“極限”語言表示某種“自我意識”；還有像“自由意志”等也體現在微積分的知識命題中。“反思”、“自我意識”和“自由意志”等是哲學的基本對象，也是思維的基本規定，思想由它們構成，既然這些基本元素可以用微積分中的知識與符號表示，那麼我們也願意相信萊布尼茨說的：用數字（包括數學知識及其符號）來表達人類的所有思想。而對於“數學表達了人類的哪些具體思想？”——這個問題訴諸於數學哲學的具體研究。 我認為數學哲學（數學的思維規定）的研究有助於回答人工智慧是否可能以及何以可能的問題，但光講人的思維還不行，還需囊括人的情感和意志等的數學化的問題，對此我提出“數學思維建模”的設想，具體來說就是用數學理論來分析、評論文學作品（如小說），小說中有人的思維、情感和意志等人性的內容，它們如果能用數學（數學知識）來討論研究，而數學的形式是符號化的，那麼反過來人的知情意等便最終能數學化、符號化。鄧老師在《哲學起步》中說“真正的語言是符號性的語言”，也許現有的數學知識及其符號能為人工智能提供一套語言。關於數學與文學二者能否綜合來討論的問題，我持樂觀的態度，理由是：通過對數學的哲學思索我認為數學背後有一種心靈哲學，而鄧老師在《文學衝突的四大主題》中認為“心靈的衝突是文學的主題”，因此數學與文學在心靈上具有同一性，二者可同日而語。讀研究生時我的學習方向是複動力系統，當時寫了一篇文章——《你往何處去》的動力系統思想，出發點是：動力系統考察函數迭代族的某種不變性；文學討論人的情感，人的情感在故事的發展中也體現某種不變性。我有一個基本的觀點是：小說《你往何處去》中主人公維尼茲尤斯由於反思的痛苦，他的情感分裂為堅定的信仰和讓自己厭惡的欲望與複動力系統中的穩定集（Fatou集）和非穩定集（Julia集）相對應。鄧老師曾拿《西遊記》同《你往何處去》進行對比，我也並未在《西遊記》中看見現代數學中的動力系統思想。 關於數學與文學二者間可以相互探討我還有一個論據，文學涉及人生觀的問題，鄧老師也曾說“人生的本質是一部長篇小說”。對於人生觀，百年前張君勱總結了五個特點：“主觀的，直覺的，綜合的，自由意志的，單一的；”微積分理論也有這樣一些特點，微積分是牛頓、萊布尼茨的自我實現體現了“主體性”，微積分的直觀形式是笛卡爾座標，微積分中微分與積分的結合體現“綜合性”，微積分中的一些命題體現了“自由意志”等。既然人生觀與微積分的哲學特點是相同的或類似的，二者間應可以做分析與比較。我曾用微積分考察巴爾扎克的小說《高老頭》，深感文學數學研究的艱難，把數學和文學這兩種完全不同形式、不同語言的對象進行統攝需要巨大的想像力，想像力意味著創造力。 二、對哲學家關於數學與人工智慧看法的評論 鄧老師在講古希臘哲學時說：“畢達哥拉斯有他的矛盾，他的矛盾就在於如何解釋運動，···赫拉克利特就出來在這方面對他加以修正。”畢達哥拉斯的基本哲學觀點是“數是萬物的本原”，當我考察微積分的本原時，回答是：無窮小，也就是說“無窮小”可以解釋微積分中的各種概念和運算。赫拉克利特有“變易”的思想，而微積分研究的對象——函數恰恰就體現了這一思想，因為函數就是把一個數變成另一個數的數學對象。我認為微積分的哲學是“我思故我在”，那思維與存在的同一性體現在哪里呢？體現在實數理論中，所以赫拉克利特之後巴門尼德的“思維與存在同一”的思想用來描述現代數學中的實數理論是合適的。黑格爾說：“我們在將宇宙解釋為數的嘗試裏，發現了到形而上學的第一步。···而巴門尼德，則已進展到以“存在”為形式的純思階段。”黑格爾持這個看法只是因為他沒能考察完整的微積分理論，微積分的極限論很明顯就是個“存在論”的問題，若極限不存在，則各種基本概念都無法定義。極限的結果往往是一個確定大小的數，所以從微積分來看，數也不止是黑格爾說的“感官事物本身的思”，而體現為一種自我確定的認識。鄧老師在《辯證邏輯的本質之我見》中說：“形式邏輯不理解辯證邏輯，只不過表明形式邏輯尚未達到自我理解、自我意識。”微積分的內在邏輯並不是形式邏輯，而是萊布尼茨的充分性邏輯，在萊布尼茨的思想那裏，除了有微積分的數學形式、微積分的邏輯，還有微積分的自我認識哲學，即“單子論”，單子論其實表達了微積分中極限論的思想。至於實數理論的思想，我想可能在海德格爾的《存在與時間》中有具體表述，康德說“用一條延伸至無限的線來表像時間序列”，在數學中也用一條直線來表示實數，所以從思維與存在同一的哲學來看，《存在與時間》中應有實數“思維與存在同一”的微積分思想。 微積分基本公式、極限理論和實數理論三者統一在《數學分析》這門數學課程中，不知哲學是否有一個理論，把笛卡爾的“我思故我在”、萊布尼茨和康德的統覺理論和海德格爾的《存在與時間》綜合成一門《哲學分析》的課程。 鄧老師在《作為“大科學”的人文科學》中認為“人文科學為自然科學奠基”，“自然科學是人文科學在自然領域中的運用”，這些觀點我認為很重要，但把數學當成小科學的觀點我卻不認同。鄧老師講到定量分析時說：“它實際上是以數學為標準衡量一切科學的‘科學性’”，這裏的“數學”二字用“數字”來代替比較合適。馬克思說：“一種科學只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完善的地步。”我認為馬克思的意思是說數學由於具有自我認識的特點，因此可以幫助其他的學科獲得自我確定性，而馬克思此前說的“在高等數學中找到最合邏輯的同時又是形式最簡單的辯證運動”即我認為的“我思故我在”。人文學者一般對數學有某種誤解，將數學等同於數的計算，其實數的加減乘除運算只是小學算術，而人文學者一般不熟悉能代表數學的理論（如微積分）。康德把知性範疇分為量的、質的、關係和模態，仔細考察任意一個數學概念（而非數學名稱）都能發現伴隨著這幾種命題的判斷形式，如微積分中函數的導數概念：四則運算是量的計算，極限體現質的變化，“函數可導必連續”這個命題反映了連續和可導之間的充分性邏輯關係，至於處於微積分知識邊界的命題“存在處處連續且處處不可導的函數”則涉及判斷的模態問題。總的來說數學並不是量的科學，所以黑格爾說的極端的數學觀點——“將邏輯理念的一個特殊階段，即量的概念，認作與邏輯理念本身為同一的東西”是對數學的片面認識。 把數學誤解為數的計算可能來自哥德巴赫猜想，簡稱“1+1”的問題，仔細一看，這裏的“1”並非量的規定，而是本質性的。我曾聽一位數學家說某數學家三十年只寫了一篇文章，但這一文章的結果是數論近十年來的唯一成果，顯然不能用論文或引用的數量來衡量這位數學家的貢獻。我曾從華羅庚身上領悟到一個思想——“心靈的自我認識”，我認為用這句話來概括偉大的數學家是合適的，對於數學來說呢，是“數的自我認識”，我把“數學是數的自我認識”作為數學的哲學定義，後來又在古希臘哲學那裏找到了確切的根源，具體來說是：古希臘哲學的第一個概念是“本原”，什麼是本原？萬物從它產生最後又回到它，那就是萬物的本原，畢達哥拉斯認為“數是萬物的本原”，那什麼是數學的本原，回答是“數”，總結起來說就是——數學是數的回復與認識，也就是說，數是數學的始基，從數出發形成各種各樣的數學對象，這些對象最終會回復到數的規定並達到對數自身的認識；綜合起來就是“數學是數的自我認識”。數學是心靈的自我認識，這是對於數學家來說的；而數學是數的自我認識，則是對數學來說的。那心靈和數是什麼關係呢？在思考這個問題時我想起了鄧老師的美學觀點“美是對象化了的情感”，所以我的看法是：數是心靈的對象化。數學家戴德金曾說“數是人類心靈的自由創造”，用古希臘哲學的說法，我認為心靈是數的本原，古希臘畢達哥拉斯學派其實有“數學的本原是萬物的本原”一說，如果說心靈是人的思想產物的本原，也是可以的，“心靈是安排萬物的原則”，而數恰好因為有大小之分是能充當萬物秩序原則的。我認為哥德巴赫猜想體現了“數的自我認識”這一哲學，曾聽一位數學家在一個講座中說哥德巴赫猜想的進展至今為零，這位數學家也談到了陳景潤的工作。從康德的知性範疇來看“1+1”的問題，我這麼認為：上世紀陳景潤等的工作對它來說是量的；至於質方面的研究至今尚沒有；華羅庚認為“哥德巴赫猜想跟解析數論中幾乎所以重要方法都有關聯”這一認識屬於關係範疇；在模態方面，“1+1”的問題可能不止是數學問題，它可能是個哲學問題，因而從數學上來看可能永遠無法回答它，也許需要從哲學的角度來觀察。 三、從鄧老師思想觀點得到的另一啟發 鄧老師在《當代形而上學的重建（上）》一文中提到的西方形而上學——“物理學之後”和中國先秦的形而上學——“倫理學之後”的觀點對我的相關思考有重要啟示。具體來說，當我得到微積分的哲學是“我思故我在”後，便認為中國之所以沒有產生微積分是因為沒有笛卡爾哲學，但中國宋明哲學的一些觀點如王陽明的“吾心即宇宙，宇宙即吾心”也涉及思想與存在同一的問題，那該怎麼對待這些哲學呢？我的想法是它們不是微積分的哲學，但可能與微積分的思想有關。微積分的創始人之牛頓是物理學家、自然哲學家，微積分是典型的“物理學之後”，那是否有一種“倫理學之後”的微積分呢？我想它可能在中國哲學中。這一點對於我們認識作為未來科學的人工智慧有重要意義，如果中國傳統思想中有某種意義上的微積分思想，甚至還有其他的數學思想，而數學是符號化的語言，那麼“將人類的思想數學化”則需要考察中國傳統思想文化。 在《論文學批評的力量》中鄧老師列出了文學批評的四個要素，對我思考用數學評價文學有參考價值，其中一個要素是“哲學涵養”，我也認為用數學去評論文學需要找到二者間的共同哲學問題，但鄧老師在《做一個思想者》的專訪裏又說“但哲學不能直接用來解讀作品”，看來我提出的“數學思維建模”實踐起來任重而道遠。 《論人類創造力的起源》中鄧老師認為：“人工智慧是“非哲學”的，它在計算能力上遠超人類，但它沒有“愛”。”心靈是人類思想的本原，數是數學的本原，將人類思想通過心靈與數還原為數學的形式即是我們為人工智能理論奠基，心靈與數的結合是“愛”的原則，這一創造性的工作需要人類自身去完成。